Теория кос | Упорядоченные группы

Часть 17. Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем. Слайды: https://launch-control-center.notion.site/8dee8dc60f744fe2a6f88295f485bfad?pvs=4 00:00 Инвариантные порядки на группах 05:26 В односторонне упорядочиваемых группах нет кручения 09:17 В двусторонне упорядочиваемых группах нет обобщённого кручения 11:09 Группы кос не являются двусторонне упорядочиваемыми 13:37 Анонс: группы крашеных кос являются двусторонне упорядочиваемыми 15:29 Упорядочиваемость групп кос поверхностей 23:16 Отсутствие делителей нуля в групповых кольцах (групповых алгебрах) упорядочиваемых групп и гипотеза Капланского 26:50 Прочие свойства двусторонне упорядочиваемых групп 33:37 Задание порядка на группе положительным конусом 36:27 Топология на множестве всех порядков на группе 39:16 Положительные конусы на абелевых группах без кручения 44:58 Динамическая реализация упорядочиваемых групп 48:51 Фундаментальные группы поверхностей, отличных от проективной плоскости и бутылки клейна, двусторонне упорядочиваемы 52:39 Исследовательский проект: отражает ли группа кос поверхности геометрию этой поверхности? Конспекты, задачи, литература, загадки, исследовательские проекты и открытые проблемы теории кос: https://launch-control-center.notion.site/2024-9be3874f7b184f34a9f3ff8352a52315?pvs=4 Теория кос является одним из интереснейших разделов маломерной топологии. Современные исследования кос затрагивают различные аспекты теории групп, комбинаторики, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в алгебраическую геометрию, теорию узлов, теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую комбинаторику, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, зашифровать сообщение, описать произвольный узел или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос. Программа 1. Группа кос и её задание образующими и соотношениями, подходы к решению задачи распознавания кос. 2. Конфигурационные пространства: последовательность Фаделла–Нойвирта, группа кос поверхности. 3. Разложение Маркова–Ивановского–Артина группы крашеных кос в полупрямое произведение свободных групп, причёсывающий алгоритм. 4. Положительность и нормальная форма Гарсайда, жадный алгоритм, введение в теорию Гарсайда. 5. Порядок Деорнуа, алгоритм редукции ручек, введение в теорию упорядоченных групп. 6. Линейные представления группы кос: представления Бурау и Лоуренс–Краммера–Бигелоу, их геометрическая интерпретация. 7. Действие группы кос на свободной группе: координаты Артина и связь с порядком Деорнуа. 8. Группы классов отображений поверхностей: действие группы кос на кривых в проколотом диске, криволинейные диаграммы. 9. Действие группы кос на ламинациях и триангуляциях: координаты Дынникова. 10. Действие группы кос на железнодорожных путях: псевдо-аносовские косы и классификация Нильсена–Тёрстона. 11. Элементы гиперболической геометрии: действия группы кос на прямой и окружности, порядки тёрстоновского типа. 12. (По желанию слушателей) группа кос из трёх нитей, инварианты конечного типа, статистические вопросы, косы и узлы. Пререквизиты Знакомство с базовыми понятиями теории групп (действия групп, свободная группа, задания групп образующими и соотношениями), общей топологии (гомеоморфизмы, поверхности) и алгебраической топологии (гомотопии, клеточные пространства, фундаментальная группа). Курс вполне доступен первокурсникам, поскольку основан на материалах занятий для старшеклассников: https://t точка me/ldtss/388 (их можно считать демоверсией). Подробный алгоритм ликвидации безграмотности, а также обзор курса, его цели и условия получения зачёта доступны по ссылке https://launch-control-center.notion.site/0-dcf777def3ae4222ae4c873ed11f77b1?pvs=4.