Леонид Рыбников -- Геометрия и комбинаторика алгебр Годена

слайды: https://drive.google.com/file/d/1_FjvS61IGZHK2C8EG-UlLRRpbcot7GBG/view?usp=sharing Я расскажу, что представляет собой анзац Бете в магнитной цепочке Годена и какие геометрические и комбинаторные конструкции стоят за его решениями. Я посвящу первую половину доклада элементарному введению в предмет, а во второй части постараюсь объяснить идеи доказательств основных результатов. Подробная аннотация работы ниже. Модель Годена -- это интегрируемая квантовая магнитная цепочка, являющаяся вырождением цепочки XXX Гейзенберга, связанная с простой алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Согласно классическим работам Фейгина, Френкеля и Решетихина, интегралы этой системы можно получить из центра универсальной обертывающей аффинной алгебры Ли $\hat{\mathfrak{g}}$ на критическом уровне. Эти интегралы порождают максимальную коммутативную подалгебру в тензорной степени универсальной обертывающей алгебры $U(g)^{\otimes n}$, зависящую от набора различных точек $z_1,...,z_n$ на прямой, называемую алгеброй Годена. Соответственно, анзац Бете для этой системы можно выразить как условие отсутствия монодромии у линейных систем дифференциальных уравнений специального вида с особенностями в точках $z_i$, называемых операми. Это позволяет доказать полноту анзаца Бете для модели Годена. Решения анзаца Бете в модели Годена являются достаточно сложными функциями от параметров модели ($z_1,...z_n$), в частности, это многозначные функции (то же самое относится, безусловно, к любой более сложной системе -- например, XXX), поэтому имеется группа монодромии, переставляющая решения анзаца Бете. Чтобы задать эту группу монодромии какими-то образующими и соотношениями, полезно компактифицировать пространство параметров системы, т.е. расширить рассматриваемое семейство коммутативных подалгебр до семейства коммутативных подалгебр, параметризованного компактным многообразием. Мы описываем такую компактификацию, следуя старым работам Винберга и Шувалова и более новым Агирре, Фельдера и Веселова: эта компактификация оказывается компактификацией Делиня-Мамфорда пространства стабильных рациональных кривых с отмеченными точками $\overline{M_{0,n+1}}$. Мы показываем, что фундаментальная группа $J_n$ ее вещественной формы $\overline{M_{0,n+1}}(\mathbb{R})$ (называемая кактусной группой) действует монодромией на решениях анзаца Бете. Примечательно, что та же группа $J_n$ возникает совершенно независимо в теории кристаллов Кашивары, представляющих собой комбинаторную модель представлений простой алгебры Ли. Кристаллы можно тензорно умножать, причем произведения кристаллов в разных порядках изоморфны. Однако, это тензорное произведение не является ни симметрическим, ни даже braided. Тем не менее, на категории кристаллов, связанных с данной алгеброй Ли, есть функториальный изоморфизм между тензорными произведениями пары объектов в разных порядках (называемый коммутором), удовлетворяющий некоторым естественным условиям (аксиомам кограничной категории). Кактусная группа играет роль группы кос в кограничных моноидальных категориях, т.е. в частности действует на произведении любых n штук кристаллов Кашивары. Согласно гипотезе Этингофа, это действие кактусной группы эквивалентно ее действию на собственных векторах алгебр Годена в модели Годена. Мы (совместно с Халачевой, Камницером и Виксом) доказываем эту гипотезу, попутно получая комбинаторную параметризацию решений анзаца Бете. Идейно это связано с комбинаторной параметризацией Кириллова и Решетихина решений анзаца Бете для модели XXX