Торическая топология, комбинаторика и теория гомотопий. Лекция 2, Т.Е.Панов

21.09.26 Георгий Сергеевич Черных Симметрические степени поверхностей n-ая симметрическая степень SP^n(X) пространства Х - это просто факторпространство декартовой степени X^n по действию группы перестановок. Оказывается, если X является двумерной поверхностью, то SP^n(X) является гладким многообразием, комплексным, если X ориентируемо. Причём эта гладкая структура канонична с точностью до изотопии. В ориентированном случае комплексная структура очень не канонична, но соответствующая стабильно комплексная структура единственна с точностью до гомотопии. Всё это позволяет корректно рассматривать соответствующие классы бордизмов симметрических степеней замкнутых поверхностей: в неориентированных бордизмах в неориентируемом случае, и в комплексных бордизмах в ориентированном случае. Для поверхности X я расскажу, как, используя вычисления в когомологиях симметрических степеней, следуя Макдональду, описать значение любого рода Хирцебруха на SP^n(X) в терминах инвариантного дифференциала соответствующей формальной группы. В частности, это даёт явное описание классов бордизмов SP^n(X). Отсюда следует, например, что в комплексном случае, класс SP^n(X) является инвариантом бордизма самой поверхности Х (а в неориентируемом случае это неверно). Если останется время, я также обсужу гипотезу Благоевича-Груича-Живалевича о том, что топологический тип поверхности определяется топологическим типом любой её симметрической степени. Лектор - Тарас Евгеньевич Панов Страница курса - https://mccme.ru/ru/nmu/courses-of-nmu/osen-20262027/nmu_autumn2026_toricheskaya/ Плейлист на YouTube - https://www.youtube.com/playlist?list=PLEiDNdq9X-d4 Плейлист на RuTube - https://rutube.ru/plst/1789711 Канал НМУ на RuTube - https://rutube.ru/channel/42881756/