А.В. Михайлов "Как услышать форму барабана?" Часть 1

Барабан и гитара звучат по-разному, хотя в обоих случаях колебания барабанной мембраны и гитарной струны описываются волновым дифференциальным уравнением. Тональность звука и тембр зависят от того, как мы его извлекаем. Все это можно понять и детально предсказать, анализируя граничные и начальные условия соответствующего волнового уравнения. Звучание барабана зависит от его формы. В 1966 году известный математик Марк Кац опубликовал знаменитую статью "Can One Hear the Shape of a Drum?" ("Можно ли услышать форму барабана?") Обобщению этой задачи посвящён целый раздел современной математики: спектральная геометрия. Сейчас, через 43 года, достигнут существенный прогресс в решении задачи Каца, но полностью задача о барабане не решена! В моих лекциях, доступных для студентов младших курсов, я расскажу про математическое объяснение звучания струн и барабанов разной формы. Я постараюсь показать, что такая невинная задача, как колебание мембраны обычного круглого барабана, связана со многими разделами классической математики, включая разделение переменных в полярных координатах, теорию Фробениуса для дифференциальных уравнений с регулярными особенностями, теорию специальных функций (функций Бесселя), теорию ортогональных функций, задачи на собственные значения, теорию Штурма-Лиувилля и многое другое. Сейчас мне трудно предсказать, как далеко мы сможем продвинуться по этому пути за две лекции миникурса. Здесь я буду ориентироваться на реакцию аудитории.