Семинар 10.03.2026. Н. А. Тюрин . Гипотеза Элиашберга: вариационный подход

Семинар 10.03.2026. Н. А. Тюрин (Дубна) "Гипотеза Элиашберга: вариационный подход. " Пусть $(M, \omega)$ - компактное симплектическое многообразие размерности $2n$ с целочисленной симплектической формой $[\omega] \in H^2(M, \mathbb{Z})$. Тогда вырезая подмногообразие $D \subset M$, класс гомологий которого двойствен по Пуанкаре классу симплектической формы $[\omega]$, мы получаем открытое симплектическое многообразие $M_0 = M \backslash D$, на котором симплектическая форма является точной, то есть найдется 1- форма $\rho \in \Omega^1_{M_0}$ так что $d \rho = \omega$ (причем такая форма, конечно, будет не единственной). Тогда векторное поле $\lambda(\rho) = \omega^{-1}(\rho)$ является лиувиллевым полем. Если к тому же векторное поле $\lambda_{\rho}$ является градиентоподобным для некоторой выпуклой функции $\Phi$, то многообразие $M_0$, снабженное парой $(\lambda(\rho), \Phi)$ называется областью Вейнстейна. Конечные траектории потока, индуцируемого векторным полем $\lambda (\rho)$, включая особые точки этого векторного поля, составляют CW комплекс, называемый скелетом Вейнстейна одноименной области. По самому определению скелет Вейнстейна гомотопен $M_0$; размерность его клеток не может превосходить $n$ поскольку в гладких точках он изотропен. Базовый пример - кокасательное расслоение $T^* S$, снабженное канонической формой действия. Лиувиллево поле дополняется до вейнстейновой структуры суммой квадратов импульсов, и скелет Вейнстейна в этом случае есть в точности нулевое сечение. Лагранжево подмногообразие $S_0 \subset M_0$ называется точным, если $\rho|_{S_0}$ является точной формой. Для гладкого точного лагранжева подмногообразия имеется известная гипотеза Элиашберга: класс $[S_0] \in H_n(M_0, \mathbb{Z})$ не может быть тривиальным. Из этой гипотезы возможны полезные следствия: например, если $H_n(M_0, \mathbb{Z}) = 0$, то в $M_0$ нет гладких точных лагранжевых подмногообразий. Для $M_0= T^* S$ эта гипотеза означала бы, что любое точное лагранжево подмногообразие обязано быть гомологичным нулевому сечению (или его кратности). В докладе обсуждается следующий подход к этой гипотезе. На пространстве всех возможных гладких точных лагранжевых подмногообразий вводится естественная норма $N(S_0)$, определяемая как супремум норма функции, дифференциал которой есть $\rho|_{S_0}$. Нетрудно показать, что $N(S_0) = 0 $ если и только если $S_0$ содержится в скелете Вейнстейна. Также нетрудно показать, что для любого $S_0$ с неотрицательной нормой найдется малая гамильтонова деформация, уменьшающая норму. Возникает естественная идея - попытаться найти эффективную оценку уменьшения нормы при локальных деформациях для того, чтобы построить цепочку таких деформаций, в пределе дающую нулевое значение $N(S_t)$ при $t \to \infty$. Нулевое значение при этом в общем случае окажется недостижимым, поскольку в общем случае скелет Вейнстейна не имеет гладких компонент, однако предельный цикл в скелете должен будет иметь размерность $n$ и потому обязан быть нетривиальным.