Гимнастика для ума для 10 класса GMX 20 — Докажите, что a^2+b^2+c^2 больше или равно

Умственная гимнастика для 10 класса GMX 20 - Упражнение № 1: Докажите, что a² + b² + c² больше или равно (ab + ac + bc), независимо от действительных чисел a, b и c. Определите действительные числа x, для которых 121x + 125x + 900x = 165x + 450x + 330x. - Упражнение № 2: Покажите, что [логарифм по основанию 11 от (7)] + [логарифм по основанию 11 от (11)] больше, чем [логарифм по основанию 11 от (7)] * [логарифм по основанию 11 от (121)]. - Упражнение № 3: Пусть (n) — натуральное число, n больше или равно 3, и a1; a2; a3; ...; an больше нуля, причем [a1] + [a2] + [a3] + ... + [an] = 5. Докажите, что [логарифм по основанию a1 от (11a2-30)] +[логарифм по основанию a2 от (11a3-30)] +[логарифм по основанию a3 от (11a4-30)] +...+[логарифм по основанию a(n-1) от (11an-30)] +[логарифм по основанию an от (11a1-30)] больше или равно 2*(n). - Упражнение № 4: Если b принадлежит интервалу (0; плюс бесконечность), докажите, что [логарифм по основанию 11 от (11^b -1)] * [логарифм по основанию 11 от (11^b +1)] меньше (b^2). Упражнение № 5: Пусть S n = 1/ [расширенный радикал (4) + (радикал (15))] + 1/ [расширенный радикал (8) + (радикал (63))] + ... + 1/ [расширенный радикал (4n) + (радикал (16*n^2-1))], n принадлежит N. Докажите, что [расширенный радикал (4n) + (радикал (16*n^2-1))] = [радикал (4n+1) + радикал (4n-1)] / (радикал 2). Упражнение № 6: z^n = [ (1+i*радикал (3))/(1-i*радикал (3))]^n + [ (1-i*радикал (3))/(1+i*радикал (3)]^n. Вычислите z^500 и z^1200. Покажите, что z^n принадлежит R.