Линейно возрастающее ускорение: уравнения движения при ускорении, зависящем от времени.

Учитывая, что ускорение частицы линейно возрастает a(t) = kt при постоянном k, мы хотим определить уравнения движения частицы, используя общие начальные условия x(0) = x₀ и v(0) = v₀. Когда ускорение не постоянно, стандартные формулы кинематики для постоянного ускорения больше не применяются, и нам приходится возвращаться к основам, чтобы найти новые формулы кинематики при изменении a. Сначала мы говорим v'(t) = a, ускорение — это производная скорости по времени. Следовательно, v'(t) = kt, и мы находим скорость, используя первообразную, чтобы получить v(t) = 1/2 * kt² + C. Чтобы определить произвольную постоянную C, мы применяем начальное условие к v и находим, что C = v₀, поэтому наша функция скорости для этого линейно возрастающего ускорения равна v(t) = v₀ + 1/2 * kt². Далее мы говорим x'(t) = v, скорость — это производная положения по времени. Итак, x'(t) = v₀ + 1/2*kt², и снова мы можем записать x(t), используя первообразную, чтобы получить x(t) = v₀*t + 1/6*kt³ + C. Применяя начальное условие для положения, мы находим, что C = x₀. Таким образом, мы наконец приходим к уравнениям движения при увеличении ускорения со временем: v(t) = v(t) = v₀ + 1/2*kt² и x(t) = x₀ + v₀*t + 1/6*kt³