Геометрическая физика I | Лекция 18: Структуры Ли-Пуассона на сопряженном пространстве алгебры Ли

Уравнения Эйлера для твердого тела представляют собой гамильтонову систему на двойственной алгебре Ли, и скобка имеет знак минус, который является вынужденным. Скобка Ли-Пуассона на двойственной алгебре Ли, косопряженные орбиты и симплектическая форма Кириллова-Костанта-Суриау. Проверено численно: со скобкой минус уравнения движения получаются уравнениями Эйлера, а со скобкой плюс они возвращаются в обратном порядке. Часть двухсеместрового курса для аспирантов по дифференциальной геометрии, лежащей в основе классической механики, теории поля и калибровочной теории. Чтение: Марсден и Ратиу 10.5-10.7 (стр. 349-364). Учебники: Франкель, «Геометрия физики»; Марсден и Ратиу, «Введение в механику и симметрию». Разделы 0:00 Введение 0:26 Цель на сегодня 1:40 Частные, редукция Пуассона и скобка Шоутена 1:51 Когда скобка сводится к частному? 3:08 Редукция Пуассона с помощью симметрии 4:24 Скобка Шоутена 5:41 Линейные тензоры Пуассона и ответ 6:55 Скобка Ли-Пуассона на двойственной алгебре Ли 8:12 Скобка Ли-Пуассона 9:31 Знак, зафиксированный для курса 10:48 Гамильтоновы векторные поля и уравнения Ли-Пуассона 12:07 Казимиры на g∗ — это кососопряженные инварианты 13:23 Двойственная алгебра вращения, подробно рассмотренная 14:42 Казимир и его листья 15:57 Уравнения Эйлера, исходя только из скобки 17:14 Энергия на сфере импульса 18:27 Симплектические листья, кососопряженные орбиты и откуда берется скобка 18:37 Симплектические листья — это кососопряженные орбиты 19:54 Форма Кириллова-Костанта-Суриау 21:08 Откуда берется скобка: T ∗ G /G ∼ 22:16 Галерея: все в этом списке относится к типу Ли-Пуассона 23:25 Краткое содержание лекции 18