Проекция и ранг | Степени свободы. Глава 4

Мы определили степени свободы как «ранг матрицы проекции в квадратичной форме в определении статистики», и после изучения квадратичных форм в главе 3 пришло время рассмотреть проекцию и ранг. Проекция — это линейное преобразование, которое, по сути, находит тень вектора на поверхности меньшей размерности. Ранг матрицы показывает нам количество измерений, на которые матрица выдает результат при умножении матрицы на вектор. Эти понятия формализуют основную идею степеней свободы как представления измерений, которую мы ввели в главе 1, что помогает нам заложить основу для рассмотрения таких приложений, как t-критерий, дисперсионный анализ и линейная регрессия в будущих главах. Это глава 4 из серии о степенях свободы, или «Геометрия статистики», которая пытается строго, но интуитивно объяснить, пожалуй, самое запутанное понятие в статистике — степени свободы. Другие видео можно посмотреть здесь: https://www.youtube.com/playlist?list=PLmtbsGjqSdcbF261LACoVqibOFCGQT3GI Я также ранее рассматривал некоторые материалы из этого видео в своей серии о проекции: https://www.youtube.com/watch?v=Yc6q2w8Nt38&list=PLmtbsGjqSdcaHDCHBZNywA6KOF2JawtxN&index=2 Главы: 0:00 Введение 0:35 Краткий обзор предыдущих глав 1:10 Повестка дня 1:40 Умножение матриц как линейное преобразование 3:48 Введение в проекцию 5:57 Проекционные матрицы идемпотентны 6:50 Проекционные матрицы симметричны 10:11 Ранг матрицы 14:38 Квадратичные формы как квадраты длин проекций векторы 16:00 Проекции вектора данных 17:27 Матричные представления этих проекций 17:58 Доказательство того, что эти матрицы являются проекционными матрицами 20:08 Проекции вектора ошибок 21:24 Краткий обзор 22:14 Ранги матриц J/n и I-J/n 23:11 Подведение итогов 23:53 Анонс следующего набора видеороликов и заключительные титры Дополнительная литература/материалы для просмотра: «Суть линейной алгебры» 3Blue1Brown: https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab Лекция о независимых векторах из курса линейной алгебры Гилберта Странга: https://www.youtube.com/watch?v=yjBerM5jWsc&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=10 Лекция по проекции из курса линейной алгебры Гилберта Странга: https://www.youtube.com/watch?v=Y_Ac6KiQ1t0&list=PLE7DDD91010BC51F8&index=16 Савилл, Дэвид Дж., и Грэм Р. Вуд. Статистические методы: геометрический справочник. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, 1996. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0747-4. Уикенс, Томас Д. Геометрия многомерной статистики. Хиллсдейл, Нью-Джерси: L. Erlbaum Associates, 1995. Савилл, Дэвид Дж., и Грэм Р. Вуд. Статистические методы: геометрический подход. Корр. 3-е издание. Springer Texts in Statistics. Нью-Йорк: Springer, 1997. Авторские права: «Sunday Smooth» Скотта Бакли — распространяется под лицензией CC-BY 4.0. www.scottbuckley.com.au Другая музыка взята из аудиотеки YouTube, исполнители Алекс Хэмлин, E's Jammy Jams и Ашер Фулеро. Создано с помощью Manim: https://www.manim.community/. Исходный код будет опубликован в конце серии. Чаевые приветствуются! Поддержать меня можно здесь: https://ko-fi.com/slevey