Теорема Птолемея: два произведения, которые всегда равны

Расположите четыре точки на окружности и соедините их по порядку. Перемножьте две диагонали. Теперь перемножьте каждую пару противоположных сторон и сложите их. Два совершенно разных способа — и они всегда дают одно и то же число. Перемещайте точки в любое место по окружности, и суммы никогда не будут расходиться. Теорема Птолемея: если точки A, B, C, D лежат на окружности в таком порядке, то AC · BD = AB · CD + BC · AD Доказательство — это простое деление. На диагонали AC отметьте точку K, для которой угол ABK равен углу DBC. Это создаст две пары подобных треугольников: • ABK ~ DBC дает AK · BD = AB · CD • KBC ~ ABD дает KC · BD = BC · AD Сложите их. Поскольку AK + KC = AC, левая сторона сводится к AC · BD, а правая сторона является в точности суммой произведений двух противоположных сторон. Разрез делит диагональ на две части, и каждая часть содержит один член суммы. Анимировано в Manim. 0:00 Два произведения, которые всегда совпадают 0:43 Название 0:49 Утверждение 1:01 Один хитрый разрез 1:12 Первая пара подобных треугольников 1:24 Вторая пара 1:37 Возвращение частей на место 1:55 Один разрез в нужном месте #теоремаптолемии #геометрия #циклическийчетырехугольник #подобныетреугольники #теоремыокружности #manim #анимированнаяматематика #математическаявизуализация #математика #математика #stem #олимпиада