Признаки вписанного четырехугольника | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии 7-8

11. В треугольнике ABC проведены высоты AM и CK. Точка O –– центр его описанной окружности. Докажите, что BO ⊥ MK. 12. Две вершины прямоугольного треугольника «скользят» по сторонам прямого угла. Докажите, что третья его вершина движется по прямой. 13. В треугольнике ABC провели высоту BH. Точки D и E –– проекции точки H на стороны AB и BC. Докажите, что точки A, D, E и C лежат на одной окружности. 14. (Теорема о высотах треугольника.) Используя вписанные углы, докажите, что высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. 15. Основания высот остроугольного треугольника образуют новый треугольник. Докажите, что в этом треугольнике данные высоты являются биссектрисами. 16. На диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC опущены перпендикуляры BE и CK. Докажите, что точки A, E, K и D лежат на одной окружности. 17. В треугольнике провели три высоты. Из основания одной из них опустили перпендикуляры на две другие высоты и на две стороны треугольника. Докажите, что основания всех этих перпендикуляров лежат на одной прямой. 18. Через концы боковой стороны равнобокой трапеции и точку пересечения ее диагоналей провели окружность. Докажите, что она проходит через центр окружности, описанной вокруг трапеции. 19. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны соответственно точки M, K и E так, что ∠AEM =∠CEK =∠ABC. Отрезки AK и CM пересекаются в точке O. Докажите, что четырехугольник OMBK вписанный. 20. В четырехугольнике ABCD углы B и D прямые. Через точку O пересечения его диагоналей проведена прямая, перпендикулярная AC. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный внутри четырехугольника, делится точкой O пополам.