Алексей Львович Городенцев, "Группы в действии"

доклад на мини-конференции 15 февраля 2025, в рамках Дня математика в 179 школе. аннотация: Набор взаимно однозначных отображений множества X в себя называется группой, если вместе с каждым отображением он содержит и обратное к нему, а вместе с каждыми двумя отображениями— их композицию. Если тот или иной вопрос про множество X допускает действие некоторой группы (то есть обладает «симметриями»), то ответ на него часто удаётся найти «из соображений симметрии», то есть используя общие свойства, присущие всем группам, и устройство данной конкретной группы. Вот примеры таких вопросов: • Раскрыть скобки в (x₁+…+xₖ)ⁿ, то есть указать, какие мономы xⁿ¹…xⁿᵏ и с какими коэффициентами получатся после приведения подобных слагаемых. • Каждую грань кубика красят одним из n фиксированных цветов, цвета разных граней могут совпадать. Сколько различных крашеных кубиков удастся получить? • Задача, предложенная Н.Н.Константиновым на одном из ранних Турниров Городов и пришедшая из реальной советской жизни. В городе N разрешаются лишь простые двусторонние обмены квартирами— когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, а B — в квартиру, принадлежавшую A, все более сложные комбинации, скажем, когда A въезжает в квартиру, принадлежавшую B, B — в квартиру, принадлежавшую C, а уже C — в квартиру, принадлежавшую A, запрещены. Более того, в течение одного дня каждому жителю разрешается сделать не более одного обмена. Можно ли за два дня осуществить любой, сколь угодно сложный обмен, то есть произвольное взаимно однозначное отображение множества квартир в себя? другие доклады конференции: https://server.179.ru/wiki/?page=matematika/denmatematika