Энергия сферического конденсатора: вычисление двумя способами! [Сферический конденсатор, часть 3]

В этом видео мы вычисляем энергию, запасенную в сферическом конденсаторе, двумя разными способами. 🧠 Доступ к полным курсам перевернутой физики с видеолекциями и примерами можно получить по адресу https://www.zakslabphysics.com/ Во-первых, мы используем стандартную формулу для энергии, запасенной в конденсаторе: 1/2*Q*V, и наш предыдущий результат для разности потенциалов между оболочками сферического конденсатора. Во-вторых, мы вычисляем энергию сферического конденсатора, интегрируя плотность энергии электрического поля между двумя проводящими сферическими оболочками конденсатора. Это видео — третья часть трехсерийного цикла о сферическом оболочечном конденсаторе: Сферический оболочечный конденсатор. Часть 1: электрическое поле в сферическом конденсаторе с использованием закона Гаусса https://www.youtube.com/watch?v=MtgY7G2ySHg Сферический оболочечный конденсатор. Часть 2: разность потенциалов и емкость сферического конденсатора https://www.youtube.com/watch?v=ecrPW8EyBRw Сферический оболочечный конденсатор. Часть 3: энергия, запасенная в сферическом конденсаторе (это видео) 00:00 Введение: мы рассматриваем предыдущие результаты для сферического конденсатора, включая электрическое поле в сферическом конденсаторе, разность потенциалов между сферическими оболочками и емкость сферического конденсатора. 01:24 Вычисление энергии сферического конденсатора с использованием стандартных формул для энергии, запасенной в конденсаторе. Начнём с основной формулы для энергии, запасённой в конденсаторе, 1/2*CV^2, затем подставим определение ёмкости как C=Q/V, чтобы получить U=1/2*QV. Используя эту формулу, нам остаётся только взять нашу предыдущую формулу для разности потенциалов в сферическом конденсаторе и умножить её на 1/2Q, чтобы получить энергию, запасённую в сферическом конденсаторе. 02:20 Плотность энергии электрического поля в сферическом конденсаторе: мы повторяем основную формулу для плотности энергии электрического поля, 1/2*epsilon_0*E^2, и подставляем наш предыдущий результат для электрического поля между оболочками сферического конденсатора, чтобы получить выражение для плотности энергии сферического конденсатора. Отметим, что эта плотность энергии изменяется с r, поэтому мы не можем просто умножить плотность энергии на объём между оболочками! 03:40 Составление интеграла плотности энергии: чтобы найти полную энергию между оболочками сферического конденсатора, нам нужно разбить объем между оболочками на вложенные тонкие сферические оболочки, так чтобы плотность энергии имела четко определенное значение в тонкой стенке каждой оболочки. Мы используем оболочки радиуса r с толщиной dr и объемом dV = 4π*r²dr. 04:49 Вычисление интеграла плотности энергии: чтобы получить полную энергию, мы суммируем все бесконечно малые вклады dU, которые находятся путем умножения плотности электростатической энергии на объем одной тонкой сферической оболочки. Мы находим первообразную и вычисляем ее в пределах интегрирования (r изменяется от внутреннего радиуса a до внешнего радиуса b), и получаем полную энергию в сферическом конденсаторе. Наш ответ совпадает с первым результатом, и мы закончили!