Плоское напряжённое состояние | Сопромат с решением задачи

Разбираем, когда трёхмерную задачу можно считать плоской, и доводим до ответа: ресивер 800 мм со стенкой 8 мм под давлением 2 МПа — проходит ли он по прочности. Плоское напряжённое состояние — это когда три компонента напряжений из шести равны нулю. В ролике показано, почему именно эти три и на каком основании: не «так проще», а свободная поверхность плюс малая толщина. Отсюда же получен критерий тонкостенности — и видно, что за ним стоит ошибка в десять процентов, а не круглая цифра. ЧТО В РОЛИКЕ — шесть независимых напряжений в точке и почему их остаётся три — доказательство, а не допущение: свободная поверхность даёт три нуля — критерий δ/D ≤ 1/20 и чего он на самом деле стоит — сигма зет равна нулю, а деформация по толщине — нет: стенка тончает — откуда берутся окружное и осевое напряжения, выведено двумя разрезами — третье главное напряжение равно нулю, но в теорию прочности идёт оно — почему тонкостенный цилиндр — точка максимального расхождения III и IV теорий — чем плоское напряжённое состояние отличается от плоской деформации РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЦЕЛИКОМ Дано: p = 2 МПа, D = 800 мм, δ = 8 мм, сталь σт = 240 МПа, n = 1,5 Тонкостенность: δ/D = 8/800 = 1/100, это меньше 1/20 — модель применима Окружное: σ = pD/(2δ) = 1600/16 = 100 МПа Осевое: σ = pD/(4δ) = 1600/32 = 50 МПа Главные: σ1 = 100, σ2 = 50, σ3 = 0 МПа Допускаемое: [σ] = 240 / 1,5 = 160 МПа III теория: σэкв = σ1 − σ3 = 100 МПа 100 меньше 160 — условие прочности выполнено, запас 60 % IV теория: σэкв = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) = √7500 ≈ 87 МПа 87 меньше 160 — условие прочности выполнено Обратная задача: нужная толщина δ ≥ pD/(2[σ]) = 1600/320 = 5 мм По IV теории хватило бы 4,33 мм — на 13 % тоньше ОШИБКА, КОТОРУЮ ДЕЛАЮТ ЧАЩЕ ВСЕГО Забыть, что σ3 = 0, и взять разность посчитанных напряжений: 100 − 50 = 50 МПа вместо 100. Ошибка ровно вдвое. В обратной задаче из неё выходит стенка 2,5 мм, а окружное напряжение в такой стенке — 320 МПа при пределе текучести 240. ТАЙМКОДЫ 00:00 Начало 00:03 Ресивер: откуда берётся задача 00:58 Шесть напряжений в точке и три 01:47 Почему три из шести равны нулю 03:23 Критерий тонкостенности 04:30 Стенка тончает: σ_z = 0, а ε_z нет 05:29 Откуда берутся окружное и осевое 07:07 Три главных и условие прочности 08:16 Решение задачи целиком 10:17 Ошибка, которая стоит сосуда 11:06 Где III и IV расходятся сильнее всего 12:35 Плоская деформация — не то же самое 13:44 Итог ЧТО ДАЛЬШЕ Следующий ролик курса — усталостное разрушение. Плейлист целиком: ПОСТАВИТЬ ССЫЛКУ Сопромат, механика материалов, строительная механика — каждая тема показана там, где она живёт в настоящей конструкции, и доведена до решённой задачи.