Степень простого числа (p) в факториале числа 'n' (n!) — Доказательство | Теория чисел

#математика #jeemains #jeeadvanced #iitjee #олимпиада #cbsemaths #iscmathematics #теориячисел В этом видео я подробно объяснил, как была разработана эта формула и откуда она взялась. Основная идея, которая привела к разработке этой формулы: Сколько кратных простому числу 'P' существует между 1 и N? На самом деле, между 1 и N существует [N/P] кратных 'P'. Посмотрите видео, чтобы понять, откуда взялась эта формула! Более формальное доказательство можно представить следующим образом... Для любого простого числа 'P' первые 'N' натуральных чисел можно обозначить так: 1,2,3,...,p,...,2p,...,3p,...,[N/P].P,...,N Таким образом, N! можно записать как: N! = 1 x 2 x 3 x ... x P x ... x 2P x ... x 3P x ... x [N/P].P x ... x N = ( P x 2P x 3P x ... [N/P].P ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до N ) = P^[N/P] x ( 1 x 2 x 3 x ... x P x ... x 2P x ... x [N/P^2].P x ... x [N/P] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до N ) = P^ [N/P] x (P x 2P x 3P x ... [N/P^2].P ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до [N/P] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до N ) = P^( [N/P] + [N/P^2] ) x ( 1 x 2 x 3 x ... x P x ... x 2P x ... x [N/P^3].P x ... x [N/P^2] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до [N/P] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до N ) = P^( [N/P] + [N/P^2] ) x (P x 2P x 3P x ... [N/P^3].P ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до [N/P^2] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до [N/P] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до N ) = P^( [N/P] + [N/P^2] + [N/P^3] ) x ( 1 x 2 x 3 x ... x P x ... x 2P x ... x [N/P^4].P x ... x [N/P^3] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до [N/P^2] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до [N/P] ) x ( Произведение некратных 'P' от 1 до N ) ...И это будет продолжаться до тех пор, пока [N/P^?] не станет равным нулю. Таким образом, мы ясно видим, что степень простого числа 'P' в N! будет равна: [N/P] + [N/P^2] + [N/P^3] + ... Главная идея здесь — это то, что я уже упоминал выше: Сколько кратных простому числу 'P' существует между 1 и N? Итак, между 1 и N существует [N/P] количество кратных 'P'. Надеюсь, это понятно!