Лекция 15 | Коммутативная алгебра | Василий Ионин

15.07.2023 Поняли, что такое артиновы кольца и обсудили темы, которые не успели обсудить в курсе, посмотрели, что же там интересного: удивительную теорию размерностей и пару конструкции (дуалы и пополнения) Артиновы кольца и модули -- В артиновых кольцах: все простые идеалы максимальны; существует лишь конечное число максимальных идеалов; некоторая степень нильрадикала зануляется -- В кольцах, в которых некоторое произведение максимальных идеалов нулевое, нётеровость равносильна артиновости -- Если произведение элементов ab лежит в радикальном идеале I, то I = rad(I + (a)) \cap rad(I + (b)). Следствие: в нётеровых кольцах любой радикальный идеал представим как конечное пересечение простых -- Критерий: кольцо артиново iff нётерово размерности нуль! -- Степень максимального идеала I^n содержится в единственном максимальном идеале — в I. Следствие: артиново кольцо раскладывается в произведение локальных артиновых Анонс теории размерностей -- Формулировка теоремы Крулля о главном идеале -- Следствие: размерность нётерова локального кольца (A, I) не превосходит минимальное число порождающих I (= размерность I / I^2) -- Регулярные кольца (это где есть обратные неравенства) -- Проективная размерность модуля pd(-) и глобальная гомологическая размерность кольца gl(-), простые вычисления: gl(k) = 0, gl(оги) = 1 -- Формулировка теоремы Гильберта о сизигиях: gl(k[x_1, ..., x_n]) = n -- Формулировка теоремы Серра: нётерово локальное кольцо регулярно iff gl конечна (и тогда она = dim)! Дуалы -- Рефлексивность конечно порожденных проективных модулей -- Функтор тензорного умножения на конечно порожденный проективный модуль имеет не только правый сопряженный, но и левый! (спойлер: левый сопряженный — тензоринг с дуалом) Пополнения -- I-адические пополнения модуля, p-адические целые -- Фильтрации и I-фильтрации на модуле, I-стабильные фильтрации -- Лемма Артина-Рииса, следствие: функтор I-пополнения точен на конечно порожденных модулях