Частные производные — тригонометрические функции

Частные производные — Тригонометрические функции Вот вводный пример вычисления частной производной. В этом примере мы используем тригонометрическую функцию. Теперь, когда мы кратко обсудили пределы, мы можем перейти к вычислению производных функций от нескольких переменных. Прежде чем мы начнем вычислять производные функций от нескольких переменных, давайте вспомним важную интерпретацию производных функций от одной переменной. Вспомним, что для заданной функции от одной переменной, , производная, , представляет собой скорость изменения функции при изменении x. Это важная интерпретация производных, и мы не хотим упускать ее из виду при работе с функциями от нескольких переменных. Проблема с функциями от нескольких переменных заключается в том, что переменных больше одной. Другими словами, что делать, если мы хотим, чтобы изменялась только одна из переменных, или если мы хотим, чтобы изменялась более одной из них? На самом деле, если мы позволим изменяться более чем одной переменной, то будет бесконечное количество способов их изменения. Например, одна переменная может изменяться быстрее, чем другие переменные в функции. Обратите внимание, что функция может изменяться по-разному в зависимости от того, как мы позволяем изменяться одной или нескольким переменным. Нам потребуется разработать способы и обозначения для работы со всеми этими случаями. В этом разделе мы сосредоточимся исключительно на изменении только одной переменной за раз, в то время как остальные переменные остаются фиксированными. Вопросы изменения нескольких переменных мы рассмотрим в последующем разделе. Поскольку мы будем позволять изменяться только одной переменной, вычисление производной станет довольно простым процессом. Обратите внимание, что эти две частные производные иногда называют частными производными первого порядка. Как и в случае с функциями одной переменной, мы можем иметь производные всех порядков. Производные более высоких порядков мы рассмотрим в последующем разделе. Обратите внимание, что обозначение частных производных отличается от обозначения производных функций одной переменной. В случае функций одной переменной мы могли бы обозначать производную одним штрихом. Однако при работе с частными производными нам всегда нужно помнить, по какой переменной мы дифференцируем, поэтому мы будем использовать нижний индекс переменной, по которой производили дифференцирование. Вскоре мы также рассмотрим некоторые альтернативные обозначения для частных производных.