Полная механическая энергия при гармонических колебаниях

Математический анализ используется для вывода полной механической энергии в горизонтальной системе масса-пружина. Подставляя уравнение положения x(t) = A cos(ωt + φ) в упругую потенциальную энергию (U_e = 1/2 kx²) и её производную по времени в кинетическую энергию (K = 1/2 mv²), получаем сложную сумму полной механической энергии; подставляя k = mω² и применяя тригонометрическое тождество sin²θ + cos²θ = 1, упрощаем её до константы E_total = 1/2 kA², что подтверждает закон сохранения энергии (совпадает с более ранним наблюдением в видео о том, что вся энергия является упругой потенциальной энергией при максимальном перемещении, где скорость, а следовательно, и кинетическая энергия, равны нулю). Приравнивая эту постоянную полную энергию к кинетической энергии в положении равновесия, где потенциальная энергия упругости равна нулю, и решая уравнение, получаем максимальную скорость v_max = Aω: то же самое уравнение, уже известное из выводов положения и скорости на основе математического анализа, теперь выведено вторым, независимым способом с использованием закона сохранения энергии. Хотите конспект лекций? http://www.flippingphysics.com/shm-total-energy.html Время просмотра: 0:00 Обзор простого гармонического движения 0:45 Упругая потенциальная энергия 1:39 Кинетическая энергия 2:31 Полная механическая энергия 5:09 Нахождение максимальной скорости Следующее видео: Скорость как функция положения в простом гармоническом движении http://www.flippingphysics.com/shm-velocity-vs-position.html Предыдущее видео: Физический маятник - вывод формулы для периода и демонстрация с использованием математического анализа http://www.flippingphysics.com/physical-pendulum.html Спасибо г-ну Лейну и всем моим замечательным подписчикам на Patreon. Пожалуйста, рассмотрите возможность ежемесячной поддержки на http://patreon.com/FlippingPhysics Спасибо Джули Лангенбруннер и Джону Полу Николсу за то, что они были моей командой контроля качества этого видео. http://flippingphysics.com/quality-control.html #Вывод #ПростоеГармоническоеДвижение #ПолнаяЭнергия Стандарты учебной программы: AP Physics 1 & C: Механика, Раздел 7 Колебания, Тема 7.4 Энергия простых гармонических осцилляторов 7.4.A.1: «Полная энергия системы, демонстрирующей простые гармонические колебания, равна сумме кинетической и потенциальной энергий системы». Соответствующее уравнение: E_total = U + K. 7.4.A.2: «Закон сохранения энергии указывает на то, что полная энергия системы, демонстрирующей простые гармонические колебания, постоянна». #Вывод #ПростоеГармоническоеДвижение 7.4.A.3: «Кинетическая энергия системы, демонстрирующей гармонические колебания, максимальна, когда потенциальная энергия системы минимальна». 7.4.A.4: «Потенциальная энергия системы, демонстрирующей гармонические колебания, максимальна, когда кинетическая энергия системы минимальна». 7.4.A.4.i: «Минимальная кинетическая энергия системы, демонстрирующей гармонические колебания, равна нулю». 7.4.A.4.ii: «Изменение амплитуды системы, демонстрирующей гармонические колебания, изменит максимальную потенциальную энергию системы и, следовательно, полную энергию системы». Соответствующее уравнение для системы пружина-объект: E_total = 1/2 kA². AP Physics C: Механика, Раздел 7 Колебания, Тема 7.3 Представление и анализ простых гармонических колебаний 7.3.A.3.ii: «Можно показать, что максимальная скорость и ускорение объекта, демонстрирующего простые гармонические колебания, связаны с угловой частотой движения объекта. Выведенные уравнения: v_max = Aω, a_max = Aω²». Cambridge International A Level Physics (9702), Тема 17.2 Энергия в простых гармонических колебаниях 17.2.2: «вспомнить и использовать E = 1/2 mω²x_0² для полной энергии системы, совершающей простые гармонические колебания». IB Physics, C.1 Простые гармонические колебания C.1 (Понимание) [Энергия в простых гармонических колебаниях]: «качественный подход к изменению энергии в течение одного цикла колебаний». JEE Main & NEET, Раздел 10 Колебания и волны "Раздел 10 [Простые гармонические колебания]: Простые гармонические колебания (ПГК) и их уравнение, фаза, колебания пружины: восстанавливающая сила и постоянная силы, энергия в ПГК: кинетическая и потенциальная энергии, простой маятник: вывод выражения для его периода." Физика Гаокао, Обязательный курс 1, 1.2 Механические колебания и механические волны SC1.2.1: "С помощью экспериментов понять характеристики простых гармонических колебаний. Описать их с помощью формул и графиков."