cos^2 x + cos^2 2x + cos^2 3x + cos^2 4x = 2 — four squares become three cosines

No words. Just mathematics. Без слов. Только математика. Без слів. Тільки математика. The 2 on the right is not a number somebody picked. There are four squares, the mean value of cos^2 is one half, and 4 * 1/2 = 2 is exactly the value at which every constant cancels and a bare sum of cosines is left. Then the indices decide everything: 2 + 8 = 4 + 6, so pairing the outer two and the inner two gives the same factor twice, and four squares collapse into three: cos x * cos 2x * cos 5x = 0. Three factors — but only TWO families of answers, because the first one already lies inside the third. That is the part most solutions get wrong, and it is what this film stops on. Двойка справа не случайна. Слагаемых четыре, среднее значение cos^2 равно одной второй, и 4 * 1/2 = 2 — ровно то значение, при котором постоянная часть исчезает полностью и остаётся чистая сумма косинусов. Дальше всё решают индексы: 2 + 8 = 4 + 6, поэтому крайняя пара и внутренняя дают один и тот же множитель, и четыре квадрата сворачиваются в три: cos x * cos 2x * cos 5x = 0. Множителей три, а СЕРИЙ ОТВЕТОВ ДВЕ — первая уже лежит внутри третьей. Именно на этом месте ошибается большинство решений, и именно на нём ролик останавливается подробно. Двійка справа не випадкова. Доданків чотири, середнє значення cos^2 дорівнює одній другій, і 4 * 1/2 = 2 — рівно те значення, при якому стала частина зникає повністю і лишається чиста сума косинусів. Далі все вирішують індекси: 2 + 8 = 4 + 6, тому крайня пара і внутрішня дають той самий множник, і чотири квадрати згортаються в три: cos x * cos 2x * cos 5x = 0. Множників три, а СЕРІЙ ВІДПОВІДЕЙ ДВІ — перша вже лежить усередині третьої. Саме тут помиляється більшість розв'язків, і саме на цьому ролик зупиняється докладно. 0:00 Why the right-hand side is exactly 2 1:11 Which cosines to pair, and where the 5 comes from 2:01 The same rule once more, inside the bracket 2:37 Three factors, three equations 3:19 Three factors, but two families 4:00 Two checks 4:29 The answer, and the identity behind the whole problem Answer / Ответ / Відповідь: x = pi(2k+1)/4 and x = pi(2k+1)/10, k any integer Behind it all: cos^2 x + cos^2 2x + cos^2 3x + cos^2 4x = 2 + 2cos x cos 2x cos 5x #mathematics #математика #trigonometry