Десятичные представления рациональных и иррациональных чисел, действительный анализ 1

Мы продолжаем обсуждение десятичных представлений действительных чисел из предыдущей лекции. Начнём с теоремы о том, что действительное число является рациональным тогда и только тогда, когда его десятичное представление либо завершается, либо в конечном итоге повторяется. На нескольких примерах мы видим, как рациональные числа порождают десятичные разложения, цифры которых определяются последовательными остатками. Ключевая идея заключается в том, что существует лишь конечное число возможных остатков, поэтому повторение в конечном итоге должно произойти. Это даёт периодичность десятичного разложения в конечном итоге, в то время как частный случай остатка (0) даёт завершающуюся десятичную дробь. После установления прямого направления мы доказываем обратное: любая десятичная дробь, которая завершается или в конечном итоге попадает в повторяющийся цикл, представляет собой рациональное число. Затем мы объясняем, почему каждое иррациональное число также имеет десятичное представление, даже несмотря на то, что в этом случае недоступен алгоритм деления. Используя конструкцию на основе супремума, мы показываем, как построить десятичное разложение по цифрам. Это завершает картину: каждое действительное число имеет десятичное представление, а рациональные числа точно характеризуются конечными и в конечном итоге повторяющимися разрядами. #действительныйанализ #математика #десятичноеразложение #действительныечисла #рациональныечисла #иррациональныечисла #алгоритмделения #высшаяматематическаядисциплина #математика