Первообразные и неопределенные интегралы, часть 3: правило степеней для первообразных и интеграла...

Часть короткого цикла видеоуроков по первообразным и неопределенным интегралам: Часть 1: основные определения, линейные комбинации, примеры https://www.youtube.com/watch?v=B1PUTqKywc8 Часть 2: семейства кривых, ОДУ, задачи Коши, одномерная кинематика https://www.youtube.com/watch?v=oU70WkIeIyI Часть 3: правило степеней для первообразных и первообразная 1/x https://www.youtube.com/watch?v=DaKLUaXpBmQ Часть 4: интегралы экспоненциальных функций https://www.youtube.com/watch?v=AMiH_jABB3s Часть 5: первообразные, приводящие к основным тригонометрическим функциям https://www.youtube.com/watch?v=s-selV9V424 Часть 6: интегралы тангенс и котангенс https://www.youtube.com/watch?v=tDkBYKRkKt0 Часть 7: интегралы секанса и косеканса https://www.youtube.com/watch?v=VV158laJhq8 00:00 Вывод правила степеней для первообразных: мы хотим вычислить неопределенные интегралы степенных функций (x в степени). Начнем с напоминания о том, как дифференцировать степенную функцию. Наша цель здесь — обратить этот процесс и применить правило степеней в обратном порядке. Мы подходим к проблеме с помощью неформального «процесса угадывания и корректировки». Мы знаем, что дифференцирование степенной функции уменьшает показатель степени на единицу, поэтому первообразная степенной функции должна иметь показатель степени на единицу больше исходного. После того, как мы сделали это предположение для первообразной, мы дифференцируем первообразную и обнаруживаем, что ошиблись в n+1 раз. Всё, что нам нужно сделать, это подставить множитель 1/(n+1) в первообразную, и всё получится! Отметим, что формула для интеграла степенной функции недействительна, когда n=-1, и мы рассмотрим этот случай во второй половине видео. Вкратце: первообразная степенной функции находится путём прибавления единицы к показателю степени и деления на то же самое полученное число. 02:00 Примеры применения правила степеней для интегралов: мы рассмотрим четыре примера применения правила степеней для случая, когда n не равно -1. 1. Найти две функции F(x) такие, что F'(x)=x^2 2. Вычислить неопределённый интеграл от 1/x^5 3. Интеграл от константы с использованием правила степеней: вычислить интеграл от 5dx с использованием правила степеней (записав 5 как 5x^0). 4. Вычислите неопределенный интеграл от 3x²-5/x³+2 (используя тот факт, что интеграл линейной комбинации равен линейной комбинации интегралов). 05:08 Интеграл от x²n при n=-1: мы исследуем интеграл от 1/x dx, сначала вспомнив, что производная функции натурального логарифма ln(x) равна 1/x. Это верно только тогда, когда x больше 0, поскольку это область определения функции натурального логарифма. А что, если x отрицательно? В этом случае ln(-x) определен, и производная ln(-x) также равна 1/x, используя правило цепочки. Таким образом, мы получаем два разных решения, которые можно суммировать как ln|x|+C1, когда x меньше 0, и ln|x|+C2, когда x больше 0. Эта кусочно-определенная функция позволяет нам выбирать две разные произвольные константы в зависимости от того, какой интервал мы рассматриваем. Обратите внимание, что ln|x|+C не является полностью общим выражением, поскольку левая и правая половины этой первообразной могут иметь разные произвольные константы. Обычно мы можем обойтись без первообразной от 1/x и назвать её ln|x|+C, если только не решаем крайне необычную задачу, в которой это различие имеет значение. 07:42 Примеры применения интеграла от 1/x: 1. Вычислите неопределенный интеграл 6/x dx. 2. Вычислите неопределенный интеграл x^3-7/x+x^10-3 (этот пример объединяет все понятия, введенные в этом вводном правиле степеней).