Среднее значение функции: интеграл и пример нахождения среднего значения sin²(x) на отрезке от 0 ...

Краткое введение в интеграл среднего значения функции и пример со средним значением синуса в квадрате. Мы быстро определим среднее значение функции, визуализируем геометрический смысл среднего значения функции и выведем формулу для среднего значения функции f(x) на интервале [a b]. Далее мы применим определение среднего значения, чтобы найти среднее значение sin²(x) на интервале от 0 до 2π. Этот тип интеграла среднего значения полезен при изучении цепей переменного тока! Мы покажем функцию среднего значения и отметим, что она выглядит как 1/2, но для уверенности вычислим интеграл среднего значения. Мы составим интеграл среднего значения и найдем классический тригонометрический интеграл sin²(x) (с множителем 1/2π перед ним). Для этого интеграла необходимо использовать тригонометрическое тождество sin²(x) = 1/2(1 - cos(2x)). Таким образом, мы сделаем подстановку и найдем первообразную каждой части. При оценке в пределах интегрирования мы обнаруживаем, что большинство наших подстановок приводят к нулю, единственным сохранившимся нулевым значением является 2π, и значение нашего интеграла сводится к 1/2. Заметим, что среднее значение синуса в квадрате будет равно 1/2 на любом целом числе периодов, а период sin²(x) равен π.