Почему в (1/2)! есть число π

Что такое (1/2)!? 5! равно 120. 4! равно 24. Легко. Но (1/2)! — факториал числа, которое даже не является целым? На него есть ответ. И он связан с π. В этом коротком рассказе рассматриваются: • Загадка — факториал — это многократное умножение, которое работает только для целых чисел. • Скрытая ДНК факториала — рекуррентное соотношение n! = n·(n-1)! плюс начальное значение 1!=1 составляет всю таблицу. • Гамма-функция — Γ(z+1) = z·Γ(z), где Γ(1) = 1. Та же самая ДНК. Таким образом, Γ(n+1) = n! в каждой положительной целой точке, точно. • Плавная кривая — Γ проходит через каждую точку факториала и остается плавной между ними. • Определение интеграла — Γ(z) = ∫₀^∞ t^(z-1) e^(-t) dt. Площадь под специальной кривой. • Доказательство того, что Γ(1/2) = √π: Подставляем t = u², dt = 2u du Γ(1/2) сводится к 2·∫₀^∞ e^(-u²) du Знаменитый гауссовый (колоколообразный) интеграл равен √π В силу симметрии, полулинейный интеграл равен √π/2 Следовательно, Γ(1/2) = 2 · √π/2 = √π • (1/2)! показывает — (1/2)! = Γ(3/2) = (1/2) · Γ(1/2) = √π/2. Число Пи происходит из колоколообразной кривой. А колоколообразная кривая находится внутри гамма-функции. В этом и заключается скрытая связь. Одно рекуррентное соотношение. Одно начальное значение. Всё остальное следует из него. Это и есть гамма-функция. Подписывайтесь на @dailymathvisuals, чтобы увидеть больше визуальной математики. Магазин: dailymathvisuals.lemonsqueezy.com #Shorts #math #calculus #gamma #gammafunction #factorial #integral #pi #gaussian #bellcurve #stem #mathvisuals #explainer