Почему один знак меняет этот ответ на 10 000?

Сумма первых десяти кубиков равна 3025, что равно 55 в квадрате, а 55 — это сумма первых десяти целых чисел. То же самое происходит при каждом n. Ничто в кубировании не указывает на возведение в квадрат, и тождество обычно записывается без указания источника. Четвертые степени этого не делают. Первые десять из них дают 25333, что не является квадратом чего-либо. Таким образом, закономерность кроется в формулах, а не в ответах, и это видео помогает её выявить. Существует машина, которая выводит эти формулы по одной. Суммирование разности k + 1 в квадрате и k в квадрате от 1 до n сводит левую сторону к n + 1 в квадрате минус 1, а правую — к удвоенной сумме чисел плюс n, что позволяет найти простую сумму без каких-либо предположений. Тот же ход с кубом дает n умножить на n + 1 умножить на 2n + 1/6. Кроме того, для каждого показателя степени требуется одна формула: достижение сотой степени таким способом означает вывод девяноста девяти формул, которые никому не нужны. Фаульхабер уже к 1631 году довел их до семнадцатой степени и не мог сказать, как будет выглядеть восемнадцатая. «Оболочка» — это движущая сила этого видео. Деление суммы p-х степеней на n в степени p плюс один приводит к тому, что каждый показатель степени оказывается на одной шкале. Вычитание предела и увеличение на n показывает следующий коэффициент, а повторение этого действия четыре раза дает 1, затем одну вторую, затем одну шестую, затем ноль, затем минус одну тридцатую. Это числа Бернулли, и формула Фаульхабера — это то, во что они складываются. Один знак в этой формуле определяет ответ. Если первое число Бернулли принять равным плюс одна вторая, формула даст 25333, сумму первых десяти четвертых степеней. Если же минус одна вторая, то получится 15333, сумма первых девяти. Разница составляет ровно n в степени p, потому что только один член формулы касается этого числа. Оба правила приняты в печатном виде и оба верны для своего вопроса. Разделы 0:00 Первые десять кубиков 0:17 Каждый элемент справа — квадрат 1:06 Две формулы, и одна — это квадрат другой 1:57 Где заканчивается закономерность 2:46 Телескоп 4:00 Сколько стоит телескоп 5:11 Деление на n в степени p плюс один 6:22 Пять показателей степени попадают на одну вторую 7:31 Последовательность из единицы, деленной на n 8:42 Третий слот, затем четвертый 9:55 Список 11:10 Формула, запущенная при p равном четырем 12:27 Знак 13:34 Тот же список внутри значений дзета 14:50 Они не остаются маленькими 16:02 Возвращаемся к кубикам Каждое значение в этом видео было вычислено с помощью точной рациональной арифметики до того, как что-либо было нарисовано. Замкнутые формы проверялись путем прямого суммирования целых чисел при n до 1000 для каждого показателя степени до 8, рекурсия Пиля проверялась как тождество, а не как изображение, а числа Бернулли получались из стандартной рекуррентной формулы, а не из таблицы. Тот же короткий список включает четные значения дзета-функции. Дзета 2m — это 2m-е число Бернулли, умноженное на два пи в степени 2m, деленное на удвоенный факториал 2m, с чередующимся знаком, так что шесть в пи в квадрате, деленное на шесть, — это одна шестая с третьей позиции. Список не остается коротким: двадцатое число Бернулли примерно равно -529, а сороковое — примерно двум умноженным на десять в шестнадцатой степени. Все на экране было вычислено, а не нарисовано. Цвет соответствует показателю степени, от p = 1 в синем цвете до p = 5 в золотом, и каждая ось, деление, предельная линия и обозначение выполнены чернилами. Создано с помощью ManimGL. Музыка Винсента Рубинетти. Скачать музыку на Bandcamp: https://vincerubinetti.bandcamp.com/album/the-music-of-3blue1brown