Часто используемый интеграл в электродинамике: стандартный полярно-угловой интеграл в электростатике

Часто используемый в электродинамике интеграл для кулоновского потенциала: 𝐼 = ∫₀^π (sin(𝜃′) d𝜃′) / (𝑅² + 𝑧² − 2𝑅𝑧 cos(𝜃′)). С использованием замены 𝑢 = cos(𝜃′) на 𝑑𝑢 = −sin(𝜃′) d𝜃′, получим: 𝐼 = (𝑅 + 𝑧 − |𝑅 − 𝑧|) / 𝑅𝑧. Этот результат лежит в основе замкнутых потенциалов равномерно заряженных сферических оболочек, а также используется при интегрировании по кольцам, дискам и сферам. Он проявляется в расчётах телесных углов и в разложениях Лежандра/мультиполей через закон косинусов, упрощая осесимметричные поверхностные интегралы до простых алгебраических выражений.