Проверка второй производной, найдите максимальное или минимальное значение функции на интервале

В этом видео объясняется, как найти абсолютные максимальные и минимальные значения функции на заданном интервале с помощью дифференциального и интегрального исчисления. Ведущий иллюстрирует процесс несколькими примерами, демонстрируя применение критерия второй производной и рассмотрение концов интервала. Ключевые шаги и примеры: 00:00 Введение Введение в абсолютные минимальные и максимальные значения: Видео начинается с изложения его цели: нахождение абсолютных минимальных и максимальных значений функций на заданных интервалах. Пример 1: f(x) = x² на [-2, 2] (0:09-3:20) Ведущий находит первую производную (f'(x) = 2x) и приравнивает её к нулю, чтобы найти стационарные точки (x=0) (0:38-1:15). Вторая производная (f''(x) = 2) вычисляется (1:37-1:46), чтобы определить, является ли стационарная точка локальным минимумом или максимумом. Поскольку f''(0) положительно, x=0 является локальным минимумом (1:49-2:05). Значения функции в конечных точках (f(-2) = 4, f(2) = 4) вычисляются (2:16-2:36). Абсолютный максимум равен 4, а абсолютный минимум равен 0 (2:43-3:20). Пример 2: f(x) = x² на [1, 3] (3:30-6:00) Используется та же функция, но с другим интервалом. Стационарная точка (x=0) находится вне интервала (4:02-4:18), что означает отсутствие локальных максимумов или минимумов в этом конкретном интервале (4:21-4:37). Значения в конечных точках (f(1)=1, f(3)=9) определяют абсолютный минимум и максимум (4:44-5:03). Абсолютный максимум равен 9, а абсолютный минимум равен 1 (5:08-6:00). Пример 3: f(x) = x³ - 6x² + 9x на [0, 5] (6:06-13:17) Вычисляется и разлагается на множители первая производная (f'(x) = 3(x-3)(x-1)), что дает стационарные точки при x=1 и x=3 (6:40-7:36). Вторая производная (f''(x) = 6x - 12) используется для классификации этих точек: x=1 — локальный максимум (f''(1)=-6), а x=3 — локальный минимум (f''(3)=6) (7:58-9:58). Значения функции в этих точках равны f(1)=4 и f(3)=0 (10:32-11:21). Значения в конечной точке равны f(0)=0 и f(5)=40 (11:27-12:28). Абсолютный минимум равен 0, а абсолютный максимум равен 40 (12:47-13:17). Пример 4: f(x) = -x³ + x на [-5, 5] (13:23-19:43) Найдена первая производная (f'(x) = -3x² + 1), приводящая к стационарным точкам при x = ±1/√3 (13:41-14:09). Вторая производная (f''(x) = -6x) классифицирует эти точки: x=1/√3 — локальный максимум (f''(1/√3) отрицательно), а x=-1/√3 — локальный минимум (f''(-1/√3) положительно) (14:19-16:37). Ведущий вычисляет значения функции в этих точках и на концах интервала (f(-5)=120, f(5)=-120) (17:40-18:38). Абсолютный максимум равен 120, а абсолютный минимум равен -120 (18:52-19:43).