Геометрическая физика I | Лекция 6: Линейная симплектическая геометрия

Каждое симплектическое векторное пространство является четномерным, и доказательство состоит из трех строк линейной алгебры относительно определителя. Симплектические формы на векторном пространстве, линейная теорема Дарбу, лагранжевы подпространства и симплектическая группа. Линейная модель, которой локально тождественна теория многообразий, рассматриваемая в следующей лекции. Часть двухсеместрового курса для аспирантов по дифференциальной геометрии, лежащей в основе классической механики, теории поля и калибровочной теории. Чтение: Марсден и Ратиу, глава 2 (стр. 61-104); Франкель, раздел 4.4 (стр. 145-154). Учебники: Франкель, «Геометрия физики»; Марсден и Ратиу, «Введение в механику и симметрию». Разделы 0:00 Введение 0:28 Цель сегодняшнего занятия 1:33 Симплектические векторные пространства 2:56 Невырожденные и антисимметричные силы четной размерности 4:22 Теорема о каноническом базисе 5:40 Симплектические и евклидовые пространства: сравнение 6:59 Симплектические отображения и симплектическая группа 8:27 Симплектические отображения имеют определитель, равный единице 9:48 Гамильтоновы векторные поля и их потоки 11:14 Когда система уравнений является гамильтоновой? 12:29 Тест в действии 13:45 Гамильтоновы потоки каноничны 15:05 Теорема Лиувилля 16:21 Скобки Пуассона и бусинка на вращающемся обруче 16:31 Скобки Пуассона 17:48 Эволюция, симметрия и сохранение 19:04 Частица во вращающемся обруче 20:22 Эффективный потенциал и вилы 21:37 Фазовые портреты до и после 22:42 Краткое содержание лекции 6