Доказательство! Тригонометрические формулы понижения степени и половинного угла (MathAngel369)

✨Доказательство тригонометрических тождеств уменьшения степени и половинного угла✨ В этом обсуждении мы докажем тригонометрические тождества уменьшения степени и половинного угла. Вот краткое изложение этого обсуждения: (При желании можете пропустить этот фрагмент) 🔹Доказательство тождеств, уменьшающих степень Доказательство sin²x = [1 - cos²x]/2 (перейдите к 0:21) Доказательство cos²x = [cos²x + 1]/2 (перейдите к 2:03) Доказательство tan²x = [1 - cos²x]/[1 + cos²x] (перейдите к 3:20) 🔹Доказательство тождеств для половинных углов Доказательство sin(x/2) = ± sqrt([1 - cosx]/2) (перейдите к 5:23) Доказательство cos(x/2) = ± sqrt([cosx + 1]/2) (перейдите к 6:50) Доказательство tan(x/2) = +- sqrt([1-cosx]/[1+ cosx]) (перейдите к 7:46) Начнём! 🔹Доказательство тождеств, уменьшающих степень Доказываем sin²x = [1- cos²x]/2 Начнём с использования тождеств для двойного угла, которые мы доказывали в предыдущих обсуждениях. Из тождества двойного угла мы знаем, что: cos2x = 1 - 2sin^2x Решая относительно sin^2x, получаем: cos2x = 1 - 2sin^2x cos2x - 1 = - 2sin^2x 1 - cos2x = 2sin^2x [1 - cos2x]/2 = sin^2x Таким образом, sin^2x = [1 - cos2x]/2 Доказывая, что cos^2x = [cos2x + 1]/2 Аналогично, из тождества двойного угла мы знаем, что: cos2x = 2cos^2x - 1 Решая относительно cos^2x, получаем: cos2x = 2cos^2x - 1 cos2x + 1 = 2cos^2x [cos2x + 1]/2 = cos²x Таким образом, cos²x = [cos²x + 1] / 2 Доказывая, что tan²x = [1 - cos²x] / [1 + cos²x] Мы доказали, что sin²x = [1 - cos²x]/2 и cos²x = [cos²x + 1] / 2. Таким образом, tan²x = sin²x / cos²x = [1 - cos²x]/2 / [cos²x + 1] / 2 = [1 - cos²x]/2 * 2 / [cos²x + 1] = [1 - cos²x] / [1 + cos²x] Таким образом, tan²x = [1 - cos²x] / [1 + cos²x] 🔹Доказательство тождеств половинного угла Доказывая, что sin(x/2) = ± √[1- cosx]/2 Мы показали, что: sin²x = [1- cos2x]/2 Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем: sinx = ± √[1- cos2x]/2 Таким образом, sin(x/2) = ± √[1- cos(2x/2)]/2) sin(x/2) = ± √[1- cosx]/2 Положительный и отрицательный корень зависят от квадранта, в котором находится x/2. Доказываем, что cos(x/2) = +- sqrt([cosx+1]/2) Мы показали, что cos^2x = [cos2x+ 1 ] / 2 Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем: cos^2x = [cos2x+ 1 ] / 2 cosx = +-sqrt([cos2x+ 1 ] / 2) таким образом, cos(x/2) = +-sqrt([cos(2x/2) + 1 ] / 2) cos(x/2) = +-sqrt([cosx + 1 ] / 2) Положительный и отрицательный корень зависят от квадранта, в котором находится x/2. Доказываем, что tan(x/2) = +- sqrt([1-cosx]/[1+cosx]) Мы показали, что tan^2x = [1 - cos2x] / [1+ cos2x] Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем: tan^2x = [1 - cos2x] / [1+ cos2x] tanx = +- sqrt([1 - cos2x] / [1+ cos2x ]) таким образом, tan(x/2) = +- sqrt([1-cos(2x/2)] / [1+cos(2x/2)]) tan(x/2) = +- sqrt([1 - cos(x)] / [1+cos(x)]) Положительный и отрицательный корень зависят от квадранта, в котором находится x/2. На этом всё! Спасибо за внимание! Надеюсь, я смогу помочь вам в вашем путешествии по миру математики! С уважением, ➕MathAngel369➕ 🎥 Рекомендуемое видео и плейлист: Видео: Доказательство тригонометрических тождеств для двойного угла https://www.youtube.com/watch?v=8G6AJN_Ld4s Плейлист: Доказательство/проверка и использование тригонометрических тождеств https://www.youtube.com/playlist?list=PLr3YZlmqCWZThkKlt4Z8EuFTl4HSnZY_p 📝Статья в блоге: Прочитайте мою статью в блоге, связанную с этим видео: https://mathangel369.com/2022/02/17/proving-the-power-reducing-and-half-angle-trig-identities/ 🔑 Математический курс: Практика – ключ к успеху! Если вы хотите стать экспертом в тригонометрических тождествах, рассмотрите возможность прохождения моего математического курса. Вы можете бесплатно просмотреть около 10 минут курса перед покупкой. Доказательство/проверка и использование тригонометрических тождеств https://www.udemy.com/course/proving-verifying-and-using-trig-identities/?referralCode=948FBFF5ADE1DC0A433C Список всех моих курсов вы найдете на моем сайте: http://www.mathangel369.com/courses Youtube: MathAngel369 Website: mathangel369.com #MathAngel369 #Тригонометрическиетождества #Тригонометрия