Как найти производную функции арккосинуса (производную arccos(x)).

Выведем формулу для производной арккосинуса y=cos^(-1)x, которую также можно назвать производной arccos(x). Для начала вывода перепишем это уравнение как cos(y)=x, а затем возьмём производную от обеих частей. Вспоминая, что y — функция x, нужно применить правило дифференцирования цепочек уравнений в левой части, и получим -sin(x)dy/dx=1. Решая уравнение относительно dy/dx (производной арккосинуса), получаем -1/sin(y). Теперь можно подставить определение y как арккосинуса x, чтобы получить dy/dx = -1/sin(arcccos(x)). Итак, нам нужно вычислить тригонометрическую функцию от обратной тригонометрической функции, и для этого мы визуализируем арккосинус в прямоугольном треугольнике. Вспоминая, что cos^(-1)(x) означает «угол, косинус которого равен x», мы обозначаем прилежащий катет и гипотенузу как x и 1 соответственно. Используя теорему Пигагора, это означает, что противолежащий катет определяется как sqrt(1-x^2), поэтому теперь мы можем вычислить синус угла, косинус которого равен x, как sqrt(1-x^2). Подставляя этот результат в выражение для dy/dx, получаем формулу для производной арккосинуса: -1/sqrt(1-x^2)