Андрей Рябичев, "Геометрия кватернионов и случайные блуждания"

доклад на кружочке 11 февраля 2026. Многие ещё в школе узнают о том, что комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — их можно складывать, вычитать, умножать и делить, а ещё любой многочлен в комплексных числах имеет корень. Всё что нужно сделать — добавить к вещественным числам элемент i, являющийся корнем из минус единицы. У комплексных чисел есть интересное обобщение — кватернионы, для их определения нужно взять три корня из минус единицы, i, j и k, и написать правильную таблицу умножения. Кватернионы тоже можно складывать, вычитать, умножать и делить, однако их умножение не коммутативно (т.е. бывает так что zw≠wz). Я расскажу подробнее об этих объектах и их свойствах, а также о связи со следующей задачей: пусть мы сделали k единичных шагов на плоскости, выбирая направления случайным образом; какое в среднем расстояние (по прямой от старта до финиша) мы прошли? а средний квадрат расстояния? а какова средняя 2n-тая степень этого расстояния? Неожиданным образом, ответ на последний вопрос является целым, и комплексные числа помогают найти комбинаторный смысл этой величины (зависящей от n и k). Мы обсудим элегантное решение этой задачи, а также попытаемся его обобщить, используя кватернионы. * * * * как и было заявлено, обсуждались в частности задачи решение которых неизвестно, поэтому не всё попало на запись. тем не менее, доклад удался разнообразным и содержательным. вот таймкоды: 0:20 напоминание про комплексные числа 7:50 определение кватернионов и их свойства 39:25 сопряжение кватернионом задаёт поворот R^3 48:10 задача про случайное блуждание 1:01:40 теорема о целочисленности чётных моментов при d=2 1:04:40 решение с помощью комплексных чисел 1:21:35 существует ли аналогичное решение с помощью кватернионов при d=4? * часть про свойства кватернионов изложена в виде задач в листке https://drive.google.com/file/d/1ZnsvfLN7ACMNXXfypKDlM9ZcOM2zXKmL/ * если вы плохо знакомы с комплексными числами, можно посмотреть задачи про них https://drive.google.com/file/d/1bvEBXeUA2FCasKIJ6rDIFxwKtWsULOZZ/ * основная статья с задачей про моменты https://arxiv.org/abs/1508.04729