Найти момент инерции твердого шара путем интегрирования тонких сферических оболочек.

00:00 Зная момент инерции тонкой сферической оболочки, мы находим момент инерции сплошной сферы, представляя сферу вложенными сферическими оболочками, а затем интегрируя тонкие сферические оболочки для получения момента инерции сферы. В отличие от предыдущих подходов к вычислению интеграла момента инерции (момент инерции путем интегрирования по дискам или цилиндрическим оболочкам), наши сферические оболочки идеально соответствуют симметрии задачи, поэтому мы ожидаем, что использование сферических оболочек для вычисления момента инерции сплошной сферы позволит получить гораздо более простой интеграл момента инерции. 🧠 Доступ к полным курсам физики с видеолекциями и примерами по адресу https://www.zakslabphysics.com/ 00:58 Маркировка сферической оболочки и выражение её массы через плотность и объём. Мы обозначим типичную сферическую оболочку массой dm, радиусом r и толщиной dr, а затем выразим массу оболочки как произведение плотности на объём: rho*dV, поскольку объём бесконечно мал. 01:46 Как вычислить объём тонкой сферической оболочки: физический подход против математического. Объём тонкой сферической оболочки можно представить как площадь поверхности, умноженную на толщину, или 4πR^2*dr. Однако такой подход кажется несколько ненадёжным, поэтому мы обосновываем результат более строго, вычитая объём внешней сферы из объёма внутренней сферы, чтобы найти объём тонкой сферической оболочки. Мы утверждаем, что высшие степени dr пренебрежимо малы, поскольку dr — бесконечно малая величина, и получаем то же выражение для dV. 04:01 Окончательная настройка интеграла момента инерции для твёрдого шара. Теперь, когда у нас есть выражение для dV, умножаем его на плотность rho, чтобы получить выражение для массы оболочки dm. Подставляем dm в данную формулу для момента инерции тонкой сферической оболочки и получаем выражение для момента инерции одиночной тонкой оболочки dI. Наконец, используем интеграл для сложения всех вкладов dI. 05:18 Вычисление интеграла момента инерции: теперь, когда интеграл момента инерции выражен полностью через радиус тонкой оболочки r, мы можем найти момент инерции сплошной сферы, проинтегрировав по тонким сферическим оболочкам. Интеграл тривиален, требуется только правило степеней, и мы получаем выражение для момента инерции сплошной сферы. Подставив M/4/3*pi*R^3 вместо плотности сферы, получаем знакомую формулу для момента инерции сплошного шара: 2/5*MR^2.