Константин Щербаков, "Теорема Островского и введение в p-адические числа"

доклад на кружочке 11 марта 2026. Многим кажется, что есть только один способ разумно «измерять расстояния» на множестве рациональных чисел. Однако оказывается, что кроме привычного модуля, для каждого простого числа p есть свой способ, приходящий из теории чисел. Теорема Островского гласит, что вещественным и p-адическими для всех p исчерпываются нормирования на ℚ. Мы поймём, что означают все эти слова и докажем эту теорему. Конструкция, по обычному расстоянию приводящая к вещественным числам, повторённая для p-адических расстояний приводит к p-адическим числам — очень важному объекту, со своей геометрией (где все треугольники равнобедренные, а любая точка круга — центр) и анализом (где бесконечная сумма сходится, если слагаемое стремится к нулю). p-адические числа имеют множество приложений к теории чисел и даже физике. Так, они играют существенную роль в доказательствах гипотез Вейля и Великой теоремы Ферма, а А. Гротендик, Ю. И. Манин и А. Н. Паршин предполагали, что точное описание физической реальности нашего мира возможно только при совместном рассмотрении вещественных и p-адических чисел. Мы обсудим, как с ними работать, и как они находят применение в математике. От слушателей ожидается умение работать с логарифмами; полезным будет иметь представление пределах последовательностей. для самостоятельного изучения рекомендуется учебник Коблиц. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции