Инварианты Тураева-Виро, крашеные многочлены Джонса и гиперболический объём | QTC | Ярослав Нагибин

Доклад на семинаре "Quantum topology and categorification". В докладе рассматриваются инварианты Тураева–Виро TV_r(M), определяемые для произвольной триангуляции 3-многообразия M как сумма весов всех допустимых раскрасок его рёбер в r-1 цвет. Вес каждой раскраски задаётся произведением весов цветов и вкладов раскрашенных тетраэдров. Эти веса подбираются так, чтобы удовлетворять системе алгебраических тождеств, соответствующих преобразованиям триангуляций, что гарантирует независимость итоговой суммы от выбора триангуляции. Далее будет показано, что инвариант расщепляется в сумму компонент, индексированных элементами группы H_2(M, Z_2). В качестве первого нетривиального примера разберём случай r=3, когда инвариант выражается через классические топологические характеристики. Существует гипотеза Чена-Янга, связывающая инварианты Тураева-Виро с геометрией многообразия: для гиперболического многообразия M lim 2pi/r log(TV_r(M)) = Vol(M) при r \to \infty. В середине доклада мы установим связь между инвариантами Тураева-Виро и теорией узлов. Мы определим крашеные многочлены Джонса и покажем, как с помощью их можно вычислять TV_r(S^3 \ L). Эта связь поможет нам доказать гипотезу Чена-Янга для узла восьмёрки и колец Борромео. Источники: - V. Turaev, O. Viro. State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols. - R. Detcherry, E. Kalfagiann, T. Yang. Turaev-Viro invariants, colored Jones polynomials and volume [https://arxiv.org/abs/1701.07818]. Дата проведения: 19.05.2026